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1、根號(hào)5是無(wú)理數(shù)。

2、常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等，

3、無(wú)理數(shù)的特征是無(wú)限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式，無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

4、設(shè)根號(hào)下5不是無(wú)理數(shù)而是有理數(shù)，則設(shè)根號(hào)下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)。

5、兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

6、p^2含有因數(shù)5，設(shè)p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因數(shù)5，即q有因數(shù)5。

7、這樣p,q有公因數(shù)5，這與假設(shè)p,q最大公約數(shù)為1矛盾。

8、根號(hào)下5=p/q(p，q是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，即最大公約數(shù)是1)不成立，所以，根號(hào)下5不是有理數(shù)而是無(wú)理數(shù)。