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1、定義不同：公理是大家都認(rèn)同的道理?！肮本褪枪?、大家的意思，在人類生產(chǎn)、生活中過(guò)程中，經(jīng)過(guò)人類長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐及驗(yàn)證，基于依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實(shí)，不需要再加證明的基本命題，就是“公理”。定理是經(jīng)過(guò)證明的肯定對(duì)的道理。“定”就是肯定、一定的意思，“是經(jīng)過(guò)合理的邏輯推理及證明等方法，得到的真命題叫作“定理”。

2、能否被證明不同：公理不能被證明，因?yàn)檫@是大家在長(zhǎng)期的生活中公認(rèn)的一種道理，不能也不需要被證明。所以公理是不需要認(rèn)證的，是大家公認(rèn)的，可以直接拿來(lái)用的。定理需要被證明。比如數(shù)學(xué)、物理中的很多公式、定理等都需要證明它是對(duì)的，而且也是可以被證明的。一個(gè)推理的過(guò)程，允許從公理中引出、推出、證明出新定理和其他之前發(fā)現(xiàn)的定理。也就是說(shuō)公理可以推出來(lái)定理。

3、形成方式不同：公理是通過(guò)人們的反復(fù)使用和公認(rèn)而形成的，不需要被推理。公理是經(jīng)過(guò)人類長(zhǎng)期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)是真實(shí)的，大家普遍公認(rèn)的、不需要由其他判斷加以證明、且也不能由其他判斷證明的命題和原理。定理是通過(guò)用推理的方法得到的。真命題叫作“定理”，這種推理的方法也叫“證明”，是一種已經(jīng)證明具有正確性、可以作為原則或規(guī)律的命題或公式。

4、適用領(lǐng)域不同：公理廣泛存在于各種各樣的學(xué)科領(lǐng)域之中，除了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這樣的理科領(lǐng)域，公理也存在于經(jīng)濟(jì)、法學(xué)、新聞、文學(xué)、歷史等的人文社科領(lǐng)域。定理的適用領(lǐng)域相對(duì)公理較小，定理一般只存在于可以被推理和證明的學(xué)科領(lǐng)域，也就是理科性質(zhì)的領(lǐng)域，而文科性質(zhì)的領(lǐng)域往往不需要嚴(yán)密的推理論證，因此也基本沒有什么定理。

5、所屬領(lǐng)域不同：公理是一個(gè)相對(duì)廣泛的科學(xué)領(lǐng)域，和定理不同，公理的所屬領(lǐng)域不僅限于邏輯學(xué)，一個(gè)公理不能被其他公理推導(dǎo)出來(lái)，否則它就不是起點(diǎn)本身，而是能夠從起點(diǎn)得出的某種結(jié)果—可以干脆被歸為定理了。定理是一個(gè)邏輯學(xué)領(lǐng)域的詞匯，定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的 證明為真的敘述。一般來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。