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1、數(shù)學是人類對事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用于現(xiàn)實世界的任何問題，所有的數(shù)學對象本質(zhì)上都是人為定義的。從這個意義上，數(shù)學屬于形式科學，而不是自然科學。不同的數(shù)學家和哲學家對數(shù)學的確切范圍和定義有一系列的看法。

2、在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學發(fā)揮著不可替代的作用，同時也是學習和研究現(xiàn)代科學技術(shù)必不可少的基本工具。

3、數(shù)學定義的三個主要類型被稱為邏輯學家，直覺主義者和形式主義者，每個都反映了不同的哲學思想學派。都有嚴重的問題，沒有人普遍接受，沒有和解似乎是可行的。

4、數(shù)學邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（Benjamin Peirce）的“得出必要結(jié)論的科學”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學程序，并試圖證明所有的數(shù)學概念，陳述和原則都可以用符號邏輯來定義和證明。數(shù)學的邏輯學定義是羅素的“所有數(shù)學是符號邏輯”（1903）。

5、直覺主義定義，從數(shù)學家L. E. J. Brouwer，識別具有某些精神現(xiàn)象的數(shù)學。直覺主義定義的一個例子是“數(shù)學是一個接著一個進行構(gòu)造的心理活動”。直觀主義的特點是它拒絕根據(jù)其他定義認為有效的一些數(shù)學思想。特別是，雖然其他數(shù)學哲學允許可以被證明存在的對象，即使它們不能被構(gòu)造，但直覺主義只允許可以實際構(gòu)建的數(shù)學對象。

6、正式主義定義用其符號和操作規(guī)則來確定數(shù)學。 Haskell Curry將數(shù)學簡單地定義為“正式系統(tǒng)的科學”。正式系統(tǒng)是一組符號，或令牌，還有一些規(guī)則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統(tǒng)中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統(tǒng)中，公理是包含在給定的正式系統(tǒng)中的令牌的組合，而不需要使用系統(tǒng)的規(guī)則導出。