2023成都積分入學(xué)什么時候開始申請
2023-01-31
數(shù)學(xué)很難的原因之一是，很多簡單的概念被推廣到了難以理解的程度
更新時間：2022-11-30 12:30:41作者：智慧百科
在數(shù)學(xué)中，當(dāng)一個重要的數(shù)學(xué)定義已經(jīng)提出，一個重要的數(shù)學(xué)定理已經(jīng)證明后，事情還遠(yuǎn)未結(jié)束。不論一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作已經(jīng)如何清晰了，總還有更多的了解它的余地，最常用的方法之一，就是把它陳述為一個更廣泛的東西的特例（推廣）。有不同種類的推廣，這里只討論其中的幾個。
弱化假設(shè)和強(qiáng)化結(jié)論
印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努金發(fā)現(xiàn)的數(shù)字1729很有名，因?yàn)樗梢杂脙煞N不同方式寫成兩個正整數(shù)的完全立方的和，就是
而且1729是這類數(shù)中最小的一個。讓我們試著來檢驗(yàn)，是否有一個數(shù)可以用四種不同方式寫成四個完全立方之和。
初看起來，這個問題似乎是難得令人吃驚，如果真有這樣的數(shù)，這個數(shù)必定是很大很大，如果想一個數(shù)接著一個數(shù)地去試，又必定是極為冗長乏味。那么，有沒有什么聰明的方法呢？
回答是必須把假設(shè)弱化。我們想解決的問題屬于下面的一般類型。給出一個正整數(shù)序列a_1，a_2，a_3…，而且告訴了我們這個序列具有某個性質(zhì)。然后要證明，一定存在一個正整數(shù)，使得它可以用十種不同的方式寫成這個序列中四項(xiàng)之和。這樣思考問題可能有一點(diǎn)人為造作的味了，因?yàn)榧僭O(shè)了這個序列是"完全立方數(shù)的序列"，因?yàn)檫@個性質(zhì)的序列（比起所謂“具有某個性質(zhì)"的序列”） 顯得過于特殊，所以比較自然的想法是把這個問題看成是一個特定序列的鑒別問題。然而，這種思考問題的方式鼓勵我們考慮有這樣的可能性，就是這個結(jié)論可能對于廣泛得多的序列仍然為真，而結(jié)果確實(shí)如此。
有1 000個完全立方數(shù)小于或等于1 000 000 000。我們將會看到正是這個事實(shí)，就足以保證“存在一個整數(shù)，而它可以用十種不同方式寫成四個完全立方數(shù)之和”。具體說來，我們的問題變成證明∶
為了證明這件事，我們先要注意到，從序列中任意取四項(xiàng)的方式有1000×999×998×997/24種，這個數(shù)小于400億，而這個序列中任意四項(xiàng)之和必不大于40億。所以現(xiàn)在有400億個不大于40億的數(shù)，其中必有重復(fù)的數(shù)，平均說來，取相同值的數(shù)應(yīng)該有十個以上。所以，在400億個數(shù)中，至少有一個會取40億個值 的 某一個十次以上，證畢。
為什么用這種方式把問題推廣會有助于問題的解決？人們可能會以為，在證明一個結(jié)果時，假設(shè)越少，證明就越難。然而時常并不如此。假設(shè)越少，在用這個假設(shè)來證明時，需要作的選擇也越少，這有時會加快對于證明的搜尋。如果沒有把這個問題推廣如上，就會有過多的選擇。例如，可能會試著去解非常困難的含立方項(xiàng)的丟番圖方程，而不是像現(xiàn)在這樣作簡單的計(jì)數(shù)問題。
我們也可以認(rèn)為上面的推廣就是結(jié)論的強(qiáng)化∶原來的問題只是一個關(guān)于立方的命題，而我們的證明則多得多。弱化假設(shè)與強(qiáng)化結(jié)論，并沒有清晰的區(qū)別，
證明一個更抽象的結(jié)果
模算術(shù)里有一個著名的結(jié)果，稱為費(fèi)馬小定理∶如果p是一個素?cái)?shù)，而正整數(shù)a不是p的倍數(shù)，則a^（p-1）除以p時，余數(shù)必為1。就是說a^（p-1） mod p必定同余于1。
這個結(jié)果有幾種證明，其中之一是尋求推廣的好例證。以下就是其論證的概要。
mod p的乘法就是說相乘以后要除以p并取其余數(shù)。舉例來說，若取p=7，則3與6的積“mod7”是4，因?yàn)?是3×6=18除以7所得的余數(shù)。
這個論證表明，如果恰當(dāng)?shù)乜创?strong>費(fèi)馬小定理只是拉格朗日定理的一個特例（不過，整數(shù) modp 成為一個群并不是完全顯然的。這個事實(shí)可以用歐幾里得算法來證明）。
費(fèi)馬本人不可能這樣來看他的定理，因?yàn)樵谒C明這個定理時，群的概念還沒有發(fā)明。所以，群的抽象概念幫助人們以全新的方式來看待費(fèi)馬小定理∶可以把它看作是一個更一般的結(jié)果的特例，但是當(dāng)新的抽象概念沒有發(fā)展起來以前，甚至無法陳述這個更一般的結(jié)果。
這個抽象化過程有許多好處，最明顯的是它給了一個更一般的定理，一個具有許多其他有趣的應(yīng)用的定理。一旦看到了這一點(diǎn)，就能一下子證明一般的結(jié)果，而不必分別證明各個特殊結(jié)果。一個與之有聯(lián)系的好處是，它使我們能夠看到，許多原來似乎無關(guān)的結(jié)果之間是有聯(lián)系的。而在數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域間找到聯(lián)系幾乎一定會影響這門學(xué)科的顯著的進(jìn)展。
鑒別出特征性質(zhì)
定義根號2 的方式和定義虛數(shù) i的方式成了明顯的對照。定義根號2的方法是，先證明確有一個正實(shí)數(shù)存在，而且其平方為2。然后，定義此數(shù)即為根號2。
對于虛數(shù)i，這種風(fēng)格的證明是不可能的，因?yàn)闆]有哪個實(shí)數(shù)平方以后會等于 -1。所以，我們代之以另一個問題∶如果有一個數(shù)平方以后會等于-1，那么，關(guān)于這個數(shù)有哪些性質(zhì)？這樣一個數(shù)不可能是實(shí)數(shù)，但這并未排除一種可能性，就是擴(kuò)張實(shí)數(shù)系為一個更大的數(shù)系，使之能夠包含-1的一個平方根。
初看起來，似乎我們恰好是知道了關(guān)于i的一件事，即i^2=-1。但是如果還假設(shè)i服從算術(shù)的正常的法則，就還可以做更多有趣的計(jì)算，例如
這意味著（1＋i）/根號2是i的一個平方根。
從這兩個簡單的假設(shè)（即i^2=-1以及i服從算術(shù)的通常法則）就能發(fā)展起整個復(fù)數(shù)理論而不必為i究竟是什么操心。而事實(shí)上，思考一下根號2的存在性，就會看到，根號2的存在性其實(shí)并不如它的定義性質(zhì)那么重要，而這個定義性質(zhì)與i的定義性質(zhì)是非常相似的，這個定義性質(zhì)就是平方以后給出2，以及服從算術(shù)的通常法則。
數(shù)學(xué)中許多重要的推廣都是這樣行事的。另一個重要的例子是當(dāng)x和a均為實(shí)數(shù)而x為正時x^a的定義。除非a是正整數(shù)，x^a這個表達(dá)式很難看出有什么意義，然而，不論 a取什么值，數(shù)學(xué)家們拿著這個表達(dá)式卻好像沒事人一樣，這是怎么回事呢？答案在于，關(guān)于x^a，真正要緊的不在于它取什么值，而在于把它當(dāng)作 a 的一個函數(shù)時，它的特征性質(zhì)是什么。
所謂特征性質(zhì)，不僅是說它所具有的性質(zhì)，而且是只要有了這個性質(zhì)，那就是它，也就是僅有它才具有的性質(zhì)
x^a的最重要的特征性質(zhì)就是
有了這個性質(zhì)，再加上另外幾個性質(zhì)，就完全確定了x^a這個函數(shù)。
抽象化和分類之間有著有趣的關(guān)系?！俺橄蟆边@個詞在數(shù)學(xué)中時常是指這樣一部分?jǐn)?shù)學(xué)，在那里更經(jīng)常使用一個對象的特征性質(zhì)來進(jìn)行討論，而不是直接從對象的定義來做論證。抽象的最終目的，是從一組公理，例如群或向量空間的公理，開始來探討其推論。然而，有時為了對這些代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理，對它們進(jìn)行分類會很有幫助，分類的結(jié)果是使它們變得更具體。例如，每一個有限維實(shí)向量空間V都同構(gòu)于某個R^n，而n是一個非負(fù)整數(shù)。把V想作一個具體的R^n，而不是想作一個滿足某些公理的代數(shù)結(jié)構(gòu)，時常很有幫助。于是，在一定意義下，分類是抽象化的對立面。
重新陳述以后再推廣
維是一個在日常語言中也很熟悉的數(shù)學(xué)概念，例如，一把椅子的照片就是一個3維對象的2維表示，因?yàn)橐巫佑懈叨?、寬度和深度，但是它的像只有高度和寬度。粗略地說，一個圖形的維就是可以沿著它自由運(yùn)動而始終停留在此圖形內(nèi)的獨(dú)立的方向的個數(shù)，這個粗略的概念可以在數(shù)學(xué)上定義精確（利用向量空間的概念）。
如果給了一個圖形，則它的按正常理解的維應(yīng)該是一個非負(fù)整數(shù)。說我們可以在例如1.4個獨(dú)立的方向上運(yùn)動是沒有意義的，然而，確實(shí)有一個分?jǐn)?shù)維的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，在這個理論中，任意給一個非負(fù)實(shí)數(shù)d，都可以找到一個d維的圖形。
數(shù)學(xué)家們是怎樣做到這件似乎不可能的事情的呢？答案是把這個概念重新陳述了，只有這樣，才能推廣它。這句話的意思就是給維以一個具有以下性質(zhì)的新的定義∶
對于所有的“簡單的”圖形，維的新定義和老定義一致。例如在新定義下，直線仍是1維的，正方形仍是2維的，立方體仍是3維的。
在新定義下，每個圖形的維一定是正整數(shù)這一點(diǎn)不再是顯然的。
做這件事有好幾種方法，但其中的絕大多數(shù)都集中在長度、面積和體積這些概念的差別上。注意，一條長度為2的直線段，可以分成兩個互不重疊的長度為1的直線段的并；一個邊長為2的正方形可以分成四個互不重疊的邊長為1的正方形的并；而一個邊長為2的立方體，可以分成八個互不重疊的邊長為1的正方體之并。因此，若把一個d維圖形按因子r放大，則其d維“體積”會被乘上因子r^d。假設(shè)現(xiàn)在想展示一個1.4維圖形。方法之一是取
然后找一個圖形X，把它按因子r放大，而且使得放大的圖形可以分成兩個互不相交的X的復(fù)本。X的兩個復(fù)本，體積應(yīng)該是X的“體積”的兩倍，所以X的維數(shù)d應(yīng)該滿足方程r^d=2。按照我們對r的選擇知道，X的維數(shù)為1.4。
另一個初看起來沒意義的概念是不可交換幾何學(xué)。“交換”這個詞本來只用于二元運(yùn)算，所以屬于代數(shù)而不屬于幾何學(xué)，那么，不可交換幾何學(xué)可能有什么意思呢？
但是現(xiàn)在，答案已經(jīng)不再令人驚奇了∶人們用某個代數(shù)結(jié)構(gòu)來重新陳述幾何學(xué)的一部分，然后再推廣這里的代數(shù)。這個代數(shù)結(jié)構(gòu)涉及到一個可交換的二元運(yùn)算，所以，允許這個二元運(yùn)算為不可交換的，就推廣了這個代數(shù)。
這里講到的幾何學(xué)的一部分就是流形的研究。與流形 X 相關(guān)的有定義在此流形 X 上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)的集合 C（X）。給出了 C（X）中的兩個函數(shù)f和 g 以及兩個復(fù)數(shù) λ和 μ，則線性組合 λf＋μg 仍是一個復(fù)值連續(xù)函數(shù)，從而仍在C（X）中，所以C（X）是一個向量空間。然而，還可以把f與g相乘。這個乘法有各種自然的性質(zhì)（例如，對于一切函數(shù)f，g和h有f（g+h）=fg+fh），這就使得C（X）成為一個代數(shù)，甚至是一個C*-代數(shù)。后來發(fā)現(xiàn)，緊流形 X 上的相當(dāng)大一部分幾何學(xué)可以純粹地以C*-代數(shù) C（X）的語言來重新陳述。這里的“純粹地”這個詞意味著并無必要講到流形 X，而 C（X）本來是參照著流形 X 來定義的 ，我們需要的僅是 C（X）是一個代數(shù)。這就意味著有可能有這樣的不是幾何地生成的代數(shù)，但是對于它們，經(jīng)過重新陳述的幾何概念仍然可用。
代數(shù)里有兩個二元運(yùn)算∶向量空間運(yùn)算和乘法。向量空間運(yùn)算總是假設(shè)為可交換的，但是乘法可不一定∶如果乘法也是可交換的，就說這個代數(shù)是可交換代數(shù)。因?yàn)閒g和gf顯然是同一個函數(shù)，代數(shù)C（X）就是一個可交換C*-代數(shù)，所以從幾何學(xué)產(chǎn)生的代數(shù)總是可交換代數(shù)。然而有許多幾何概念在用代數(shù)語言重新陳述以后，對于不可交換的C*-代數(shù)仍有意義，"不可交換幾何學(xué)"這個詞就這樣使用起來了。
這樣一種重新陳述以后再推廣的程序在數(shù)學(xué)的許多最重要的進(jìn)展中都有?，F(xiàn)在看本文的第三個例子∶算術(shù)的基本定理。它是數(shù)論的基石之一，它指出∶每一個正整數(shù)都可以唯一的方式寫成素?cái)?shù)之積。然而數(shù)論專家總要看擴(kuò)大的數(shù)系，在絕大多數(shù)這類數(shù)系中，算術(shù)的基本定理的明顯的類似定理都是不成立的。
然而，有一種自然的方法推廣“數(shù)”的概念，使之包括理想數(shù)，這樣，就可以在例如剛才所述的那種環(huán)內(nèi)，證明算術(shù)的基本定理的一種版本。首先把問題重新陳述如下∶對每一個數(shù)γ，做所有倍數(shù)δγ的集合，其中 δ是環(huán)中的元。記此集合為（γ），具有以下的封閉性質(zhì)∶若α，β都屬于（γ），而δ，ε都是此環(huán)中之元，則
一個環(huán)的具有以上封閉性質(zhì)的子集合，就稱為一個理想。如果一個理想具有（γ）的形狀，γ是某個數(shù)，則此理想稱為一個主理想。然而，存在不是主理想的理想，所以，可以把理想的集合看成是推廣了原來的環(huán)的元素的集合。結(jié)果是有自然的加法和乘法的概念可以適用于各個理想。此外，定義一個理想為“素”理想也是有意義的，這里，說理想I為素理想，即是指唯一地寫I為兩個理想J，K之積的方式是J，K中有一個是“單位元”。在這個擴(kuò)大的集合上因子的唯一分解定理是成立的。這些概念給了一種非常有用的在原來的環(huán)中“量度因子分解的唯一性定理失效程度”的標(biāo)尺。
更高的維數(shù)和多個變元
我們已經(jīng)看到，當(dāng)不是只考慮單變元的一個方程，而是考慮許多變元的方程組時、多項(xiàng)式方程的研究會變得復(fù)雜得多。例如偏微分方程，它們可以看作是涉及多個變量的微分方程，典型地，分析它們會比分析常微分方程困難得多。多變元的多項(xiàng)式方程組以及偏微分方程是一種過程的兩個值得注意的例子，這個過程就是從單變元推廣到多變元，產(chǎn)生了許多最重要的數(shù)學(xué)問題和結(jié)果，特別是在20世紀(jì)以來。
設(shè)有一個涉及三個實(shí)變量 z，y 和 z 的方程。把三元組（z，y，2）看成單獨(dú)一個對象，而不是三個數(shù)的一組，這種想法時常是有用的。此外，這種對象有著自然的解釋∶它代表3維空間的一點(diǎn)。這個幾何解釋是重要的，而且在很大程度上有助于說明為什么把許多定義和定理從一個變元推廣到多個變元如此有趣。如果把一項(xiàng)代數(shù)的工作從單變元推廣到多變元，就可以認(rèn)為，這是從1維的背景推廣到高維的背景。這個思想引導(dǎo)到代數(shù)與幾何的許多聯(lián)系，使得來自一個領(lǐng)域的技巧可以用于其他領(lǐng)域。