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2023-01-31
菲爾茲獎得主再次突破數(shù)論難題，結(jié)論直接影響“千禧難題”之七
更新時間：2022-12-01 08:05:40作者：智慧百科
Pine 蕭簫 發(fā)自 凹非寺
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困擾數(shù)學界幾個世紀的難題，終于有重大突破了！
這個難題如果被解決，會直接影響到一個著名未解之謎的求解——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想是數(shù)學界頂尖的7大千禧難題之一，有人為了證明它，懸賞過最高100萬美元的獎金。
所以，究竟突破了什么難題？
求解一共有多少整數(shù)，能被寫成2個有理數(shù)（整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱）的立方和。
例如整數(shù)13，就可以被“拆”成有理數(shù)7/3的立方、以及有理數(shù)2/3的立方總和：
看起來似乎不難，但數(shù)學家們在這幾百年來關(guān)于它提出的各種猜想，卻沒有一個被真正、徹底地證實。
普林斯頓高等研究所的數(shù)學系教授Peter Sarnak對此感嘆：
分析兩個數(shù)的立方和，意味著研究的族（family，集的同義詞）非常小，族越小意味著問題越難。
我只能說這個問題很難、特別難，答案幾乎“遙不可及”。
但對于學界而言，這個問題的求解又至關(guān)重要。
它不僅是解決很多純數(shù)學問題的核心突破口，在應用數(shù)學如密碼學領域也頗受重視。
無證明，不數(shù)學。現(xiàn)在3位數(shù)學家再次朝這一難題發(fā)起挑戰(zhàn)，并成功突破了關(guān)鍵瓶頸之一。
所以這個數(shù)學問題究竟難在哪里，數(shù)學家們又究竟如何取得了這一突破？
選擇與三次方“死磕”
我們先來回看一下這個要解決的難題：
究竟有多少個整數(shù)，可以表達成有理數(shù)三次方和的形式？
這時可能會有盆友好奇，為什么數(shù)學家們要死磕三次方的和，而不是平方、四次方、五次方……呢？
答案也很簡單——它更難，也更有用。
具體原因有以下三點：
其一，除了三次方之外，無論是小于它的二次方、還是大于它的N（N＞3）次方，有些問題已經(jīng)被解決過了。
就拿二次方來說，已經(jīng)有非常具體的方法來判斷哪些整數(shù)能成為兩個有理數(shù)的平方和。
這個方法是在17世紀早期，數(shù)學家阿爾伯特·吉拉德（Albert Girard）和皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）提出的，如果不符合這一條件，則整數(shù)不能用有理數(shù)二次方和表示。方法具體如下：
首先，將挑選的數(shù)字分解成質(zhì)數(shù)冪的形式。以整數(shù)490為例，它可以被分解成下面這種形式：
然后，對分解后的質(zhì)數(shù)進行檢查：如果其中一個質(zhì)因數(shù)除以4的余數(shù)為3，那么它的冪必須為偶數(shù)。只有這樣，原來的數(shù)才能表示為有理數(shù)平方和。
這里7除以4余3，它的指數(shù)為2，符合偶數(shù)的要求，因此整數(shù)490可以用兩個有理數(shù)平方和表示：
其二，基于上述條件，“能否被2個有理數(shù)立方和表示”也可能成為繼奇數(shù)、偶數(shù)之外，又一個將整數(shù)有效分為兩個陣營的分類方法。
畢竟數(shù)學家們推算過，發(fā)現(xiàn)能用有理數(shù)二次方和表示的整數(shù)比例很低，同理N次方（N＞3）也是。
相比之下，可以用三次方和表示的整數(shù)就非常豐富。
光是在1～100的整數(shù)里，就有59個能用兩個有理數(shù)立方和來表示：
△藍色數(shù)字可以寫成兩個有理數(shù)立方之和
這樣的話，大約就有59%的整數(shù)能被2個有理數(shù)立方和表示，甚至有數(shù)學家猜想這個數(shù)值能被推廣到所有整數(shù)范圍中。
其三，數(shù)學家們研究這個問題也不僅僅是為了有一個新的整數(shù)劃分方式，它還和數(shù)論中的“熱門研究領域”橢圓曲線有關(guān)。
△橢圓曲線方程
橢圓曲線具有極其復雜的結(jié)構(gòu)，這使它成為純數(shù)學和應用數(shù)學等許多領域的中心，在密碼學中也有很大的用處。
立方和問題，就是橢圓曲線中的一個特例。
△橢圓曲線，圖源維基百科
如開頭提到的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，就是橢圓曲線領域的一個核心問題。
如果這一猜想成立，便能推斷出符合上面1~100整數(shù)表現(xiàn)（即藍色數(shù)字圖）的結(jié)論：
在1000萬個數(shù)字中，約有59%是兩個有理數(shù)立方的總和。
不過，上面提出的這么多推斷，繞來繞去也都只停留在猜想層面。
過去的幾百年里，不少數(shù)學家試圖揭開這個謎題，但要么無法得出結(jié)論，要么無法證明自己的推斷是正確的。
它不像指數(shù)為2時，整數(shù)可以輕松被證明能否被拆解為兩個有理數(shù)平方和（方法如上），畢竟指數(shù)為3時，沒有確切的方法可以證明整數(shù)能否被拆解。
但嘗試一個個“暴力拆解”整數(shù)又是不現(xiàn)實的。
因為在整個拆解過程中，涉及到的計算量巨大。
畢竟相較于拆成兩個整數(shù)立方和，拆成兩個分數(shù)立方和的難度要大得多……
舉個栗子，整數(shù)2083雖然可以被拆解成兩個分數(shù)的立方和，但光是這兩個分數(shù)的分母，就長達40多個數(shù)字！
這還僅僅是一個整數(shù)的計算量，更別提挨個兒計算其他整數(shù)了。
現(xiàn)在，終于有3位數(shù)學家成功突破了這個問題的瓶頸，第一次給出了可以拆解成兩個有理數(shù)立方和的整數(shù)比例：
9.5%~83%。
所以這一范圍究竟是怎么得出的？
如何圈定這一范圍？
正如上面所說，橢圓曲線的結(jié)構(gòu)極其復雜，這也使得它的直接求解變得非常困難。
于是這3位數(shù)學家開始思考：為何不試試將它與更容易處理的東西聯(lián)系起來呢？
這一想就想到了矩陣。
這3位數(shù)學家中的1位，曾在今年4月證明過一個理論：
如果一個立方和方程存在有理數(shù)解（rational solutions），那么至少存在一個2×2×2×2的四維矩陣與它對應。
依據(jù)這個理論，如果能想辦法計算出整數(shù)的2個分數(shù)立方和方程是否有對應的四維矩陣，就有辦法求解出不可能被表示成有理數(shù)立方和的整數(shù)范圍。
具體的求解過程，涉及兩方面的理論：
一部分是幾何數(shù)論，涉及計算不同幾何圖形在坐標系中的格點（lattice points）；另一部分則是解析數(shù)論，與哈代-李特爾伍德圓法（定理）相關(guān)。
最終他們求解出的結(jié)果是，大約有1/6的整數(shù)不存在對應的四維矩陣，換言之，這1/6的整數(shù)完全不可能被表示成2個有理數(shù)立方和的形式。
這樣就確定了這個范圍的最大上限——至多有5/6（約83%）的整數(shù)可能被表示成有理數(shù)立方和。
所以求解下限的話，將定理反過來不就行了？
并非如此。
畢竟這個理論的逆定理并沒有被證明成立，即“如果一個整數(shù)能找到對應的四維矩陣，則它也能被表示為2個有理數(shù)的立方和”。
為此，三位數(shù)學家求助了橢圓曲線領域中對逆定理頗有研究的2位專家，分別是來自德克薩斯大學奧斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯頓大學的Christopher Skinner。
他們一番搗鼓后，給出了一個特殊情況下逆定理成立的條件，在這種情況下至少存在2/21的整數(shù)，能表示為2個有理數(shù)的立方和。
而2/21（約9.5%）這個數(shù)值，也正是這一整數(shù)范圍的下限。
但畢竟是特殊情況，所以3位數(shù)學家認為，9.5%~83%這個整數(shù)范圍還能被進一步縮小。
接下來，他們打算進一步提升下限9.5%的數(shù)值，以接近逆定理完全成立下的5/12（約41%）。
領域內(nèi)的學者認為，這一成果突破，表明數(shù)學家們距離貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的證明又前進了一大步。
作者之一為菲爾茲獎得主
這次研究之前，3位數(shù)學家已經(jīng)在數(shù)論領域有過幾次合作了。
其中，Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有過數(shù)論領域的合作，而Manjul Bhargava又是Levent Alp?ge在普林斯頓大學讀博期間的導師。
Levent Alp?ge，哈佛大學初級研究員，本科畢業(yè)于哈佛大學數(shù)學系，并獲得了物理系碩士學位，隨后他獲得普林斯頓大學數(shù)學系的碩士、博士學位。
他曾于2015年獲得摩根獎，這個獎項每年頒給數(shù)學研究出色的大學生。
Ari Shnidman，以色列希伯來大學數(shù)學系的高級講師，研究興趣是包括計算統(tǒng)計學、算術(shù)幾何等在內(nèi)的數(shù)論方向。
Manjul Bhargava，普林斯頓大學數(shù)學系教授，本科畢業(yè)于哈佛大學，博士畢業(yè)于普林斯頓大學，研究方向是幾何數(shù)論。
他于2014年獲得菲爾茲獎，獲獎理由是在幾何數(shù)論領域做出的突出貢獻，包括開辟新方法來計算“小”秩（“小”指最多不超過5）的環(huán)數(shù)和估計橢圓曲線平均秩的界等。
值得一提的是，其中他研究的關(guān)于“橢圓曲線三次方程的有理數(shù)解”也是獲獎原因之一，這次研究的兩個有理數(shù)的立方和問題，就是其中的一種特殊求解情況。
這次突破有不少理論基礎，就建立在Manjul Bhargava之前做過的工作上。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2210.10730
參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/
[2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf
[3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/