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這個(gè)迷思可能從小學(xué)開始就在你們身邊流傳了——

因?yàn)椋?/9 = 0.111...

2/9 = 0.222...

3/9 = 0.333...

所以：9/9 = 0.999...

即：0.999... = 1

0.999... = 1 嗎？此問題在國內(nèi)外大大小小的網(wǎng)絡(luò)社區(qū)里出現(xiàn)了無數(shù)多次，每次都能引來上百人激烈的爭(zhēng)論，可謂是最經(jīng)久不衰的老問題了。其實(shí)，在學(xué)術(shù)界里，這個(gè)問題也是出了名的爭(zhēng)論熱點(diǎn)。讓我們來看看，這個(gè)讓你百思不得其解的問題，是怎么折磨數(shù)學(xué)家們的……

最簡(jiǎn)單的“證明”

最簡(jiǎn)單的證明就是上文那樣：

1/3 = 0.333...

兩邊同時(shí)乘以 3

1 = 0.999...

1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《數(shù)學(xué)雜志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等于 1 嗎？》中說道：“這個(gè)證明之所以如此具有說服力，要得益于人們想當(dāng)然地認(rèn)為第一步是對(duì)的，因?yàn)榈谝徊降牡仁綇男【褪沁@么教的?！贝笮l(wèi)·托（David Tall）教授也從調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生看了這個(gè)證明之后都會(huì)轉(zhuǎn)而開始懷疑第一個(gè)等式的正確性。

仔細(xì)想想你會(huì)發(fā)現(xiàn)，“1/3 等于 0.333…” 與 “1 等于 0.999…” 其實(shí)別無二致，它們同樣令人難以接受。正如很多人會(huì)認(rèn)為 “0.999… 只能越來越接近 1 而并不能精確地等于 1” 一樣，“0.333… 無限接近但并不等于 1/3”的爭(zhēng)議依舊存在。問題并沒有解決。

另一個(gè)充滿爭(zhēng)議的證明

大衛(wèi)·福斯特·華萊士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一書中介紹了另外一個(gè)著名的證明：

令 x = 0.999...

所以 10x = 9.999...

兩式相減得 9x = 9

所以 x = 1

威廉·拜爾斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中評(píng)價(jià)這個(gè)證明：“0.999... 既可以代表把無限個(gè)分?jǐn)?shù)加起來的過程，也可以代表這個(gè)過程的結(jié)果。許多學(xué)生僅僅把 0.999... 看作一個(gè)過程，但是 1 是一個(gè)數(shù)，過程怎么會(huì)等于一個(gè)數(shù)呢？這就是數(shù)學(xué)中的二義性??他們并沒有發(fā)現(xiàn)其實(shí)這個(gè)無限的過程可以理解成一個(gè)數(shù)?？戳松厦孢@個(gè)證明而相信等式成立的學(xué)生，可能還沒有真正懂得無限小數(shù)的含義，更不用說理解這個(gè)等式的意義了。”

逐漸靠譜的證明

等比級(jí)數(shù)具有這么一個(gè)性質(zhì)：

如果|r|

那么我們就又有了一個(gè)快速的證明：

這個(gè)證明最早出現(xiàn)在 1770 年大數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）的《代數(shù)的要素》（Elements of Algebra）中，不過當(dāng)時(shí)他證明的是 10＝9.999... 。

之后的數(shù)學(xué)課本中漸漸出現(xiàn)了更為形式化的極限證明：

1846 年，美國教科書《大學(xué)算術(shù)》（The University Arithmetic）里這么說：在 0.999... 里，每增加一個(gè) 9，它都離 1 更近。1895 年的另一本教科書《學(xué)校算術(shù)》（Arithmetic for School）則說：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差無幾了。意外的是，這些“形象的說法”卻適得其反，學(xué)生們常常以為 0.999... 本身其實(shí)是比 1 小的。

隨著人們對(duì)實(shí)數(shù)更加深入的理解，0.999... = 1 有了一些更深刻的證明。1982 年，巴圖（Robert. G. Bartle）和謝波特（D. R. Sherbert）在《實(shí)分析引論》（Introduction to Real Analysis）中給出了一個(gè)區(qū)間套的證明：

給定一組區(qū)間套，則數(shù)軸上恰有一點(diǎn)包含在所有這些區(qū)間中；0.999... 對(duì)應(yīng)于區(qū)間套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而所有這些區(qū)間的唯一交點(diǎn)就是 1，所以 0.999... = 1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 嗎？》里則用戴德金分割給出了一個(gè)證明：

所有比 0.999... 小的有理數(shù)都比 1 小，而可以證明所有小于 1 的有理數(shù)總會(huì)在小數(shù)點(diǎn)后某處異于 0.999... （因而小于 0.999... ），這說明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一樣的集合，從而說明 0.999... = 1。

格里菲思（H. B. Griffiths）和希爾頓（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列給出了另一個(gè)證明。

從未停止過的討論

盡管證明越來越完備，學(xué)生們的疑惑卻從來沒有因此減少。在品托（Pinto）和大衛(wèi)·托教授的一份調(diào)查報(bào)告中寫到，當(dāng)學(xué)生們用高等方法證明了這個(gè)等式之后，會(huì)大吃一驚地說，這不對(duì)呀，0.999… 顯然應(yīng)該比 1 小呀。

在互聯(lián)網(wǎng)上，這個(gè)等式的魅力也依然不減。辯論 0.999… 是否等于 1 被討論組 sci.math 評(píng)為“最受歡迎的運(yùn)動(dòng)”，各類問答網(wǎng)站中也總是會(huì)有網(wǎng)友激烈的討論。

一個(gè)八卦，諾貝爾獎(jiǎng)獲者費(fèi)曼（Richard Feynman）也用這個(gè)等式開過一句玩笑：“如果讓我背圓周率，那我背到小數(shù)點(diǎn)后 762 位，然后就說 99999 等等等，就不背了?！?/p>

這句話背后的笑點(diǎn)很奇怪：從 π 的小數(shù)點(diǎn)后 762 位開始，出現(xiàn)了連續(xù)的 6 個(gè) 9，偏偏在這里來一個(gè)“等等等”，就會(huì)給人感覺好像后面全是 9，這相當(dāng)于把 π 變成了一個(gè)有限小數(shù)。此后，π 的小數(shù)點(diǎn)后 762 位就被戲稱為了費(fèi)曼點(diǎn)（Feynman Point）。

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