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代數(shù)是什么？對(duì)于第一次接觸代數(shù)的中學(xué)生來說，代數(shù)是x，y，a，b之類字母構(gòu)成的抽象的語言，并有對(duì)這些符號(hào)進(jìn)行操作的一些規(guī)則。這些字母，有的代表變量，有的代表常量，可以有多種用途，例如可以利用它們來把直線寫成y= ax+b 這樣的形式、可以在笛卡爾平面畫出它們的圖像。進(jìn)一步、還可以對(duì)這些等式進(jìn)行運(yùn)算和解釋，例如一條直線的根就是直線與x軸相交的地方，還可以決定它的斜率是多少。有一些技術(shù)可以用來解聯(lián)立方程式，也就是決定兩條直線何時(shí)相交，又在哪里相交（或者證明它們平行）。

當(dāng)有了很多技巧和抽象的操作來處理直線時(shí)，更復(fù)雜的曲線，例如二次曲線y=ax^2＋bx＋c、三次曲線y=ax^3＋bx+cx＋d、四次曲線y=ax^4+bx+cx+dx+e都進(jìn)入了視野，但是同樣的記號(hào)、同樣的規(guī)則都還適用，問的也是同樣的問題：一條曲線的根在哪里？給出兩條曲線、它們?cè)谀睦锵嘟?？如此等等?/strong>

現(xiàn)在還是假設(shè)中學(xué)生已經(jīng)掌握了這一類代數(shù)，進(jìn)了大學(xué)，在大學(xué)里聽一門代數(shù)課，那些他已經(jīng)熟悉的 x，y，a，b現(xiàn)在都不見了；那些美麗的圖像基本上也不見了。大學(xué)的課程反映的是另外一番天地，代數(shù)不知怎么變成“現(xiàn)代”的了。這個(gè)現(xiàn)代代數(shù)學(xué)講的是抽象的結(jié)構(gòu)——群、域，還有別的各有自己的稱謂的對(duì)象——每一個(gè)都是用少數(shù)幾個(gè)公理來定義的，還建立了一些子結(jié)構(gòu)，如子群、理想和子域。

在這些對(duì)象中可以通過以下映射“四處游走”，如群的同態(tài)、環(huán)的自同構(gòu)等等。這種新的代數(shù)學(xué)的目的之一是理解這些對(duì)象下面的結(jié)構(gòu)而建立起群、域的完整理論。然后這些抽象的理論就會(huì)被應(yīng)用到不同的領(lǐng)域里去，在那里基本的公理是滿足的，但是事先完全看不出會(huì)有一個(gè)群或者環(huán)或者域躲在那里。這事實(shí)上正是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的偉大力量所在：只要證明了一個(gè)關(guān)于某個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般的事實(shí)，就再也沒有必要在每一次與這個(gè)結(jié)構(gòu)的特例相遇時(shí)候，再去分別指明一次這個(gè)事實(shí)。這個(gè)抽象的途徑使得我們能在看來完全不相同的背景下，看出很重要的相似之處。

這兩種事業(yè)——中學(xué)里對(duì)于多項(xiàng)式方程的分析和大學(xué)的現(xiàn)代代數(shù)學(xué)——看起來目的如此不同、工具和原理的展望也大異其趣，居然都叫做"代數(shù)學(xué)"，這是怎么回事呢？它們確實(shí)互有關(guān)聯(lián)嗎？事實(shí)上是有的，但是怎么會(huì)有，這可是一篇又長(zhǎng)又復(fù)雜的文章。

從巴比倫到希臘化時(shí)期

求解今天所謂的一次和二次多項(xiàng)式方程在古代巴比倫的楔形文字的文件中就可以找到了，時(shí)間可以追溯到公元前2000年。但是這些問題既不是用今天中學(xué)生認(rèn)得出來的記號(hào)來寫的，解法也不是用的已經(jīng)成了今天中學(xué)代數(shù)課程的特征的一般方法。這些文件提出一些特定的題目，用一些如同秘訣一樣的步驟給出特殊的解，沒有一般的理論論證，題目大多已經(jīng)改造成了幾何題目，例如量度直線段和量度具有特殊面積的曲面。例如下面就是從藏于英國(guó)博物館的泥磚（編號(hào)為BM13901，問題1）上抄錄翻譯出來的，其年代約為公元前1800——1600年：

問題1 我將以正方形的面積與邊長(zhǎng)相加得0：45，寫下系數(shù)1。取1的一半，0：30 自乘得0：15，0：15加上0：45得1，這是1的平方。1減去自乘數(shù)0：30，得0：30，即正方形的邊長(zhǎng)。

用現(xiàn)代記號(hào)，這就是求解方程x^2＋1x=3/4。這里要注意，巴比倫人用的是60進(jìn)制，所以

同理，0：30=30'=30/60=1/2；0：15=15'=15/60=1/4。然后，記邊長(zhǎng)為 x，泥板上的文字要求取線性項(xiàng)的系數(shù)1，把它的一半，即0：30 平方，得到0：15，即1/4。再把0：45加進(jìn)去，這樣就算出了現(xiàn)代記號(hào)下的

亦即1/4+3/4=1的平方根，但是，1仍為1的平方根，所以平方根仍為1。再用-(b/2a)加進(jìn)去，亦即文中所謂減去自乘數(shù)（本書原文沒有“自乘數(shù)”這幾個(gè)字，而是“在得到的0：30中挖掉它”），又得到0：30，即1/2，這就是正方形的邊長(zhǎng)想x?，F(xiàn)代讀者容易看到這就等價(jià)于現(xiàn)在所稱的二次方程式，但是巴比倫泥板就一個(gè)特定問題用文字寫出了它的文本，而對(duì)于另外的特定問題，就要再重復(fù)一次這個(gè)文本。這里并沒有現(xiàn)代意義下的方程式。巴比倫的作者們是用文字來構(gòu)筑一個(gè)幾何圖形。類似的問題和類似的算法解在埃及的文件如萊因德紙草書里也可以找到，這本紙草書據(jù)信年代為公元前1650，而且是錄自更早一個(gè)半世紀(jì)前的文本，

這種早期的文件都是以問題指向和非理論途徑為特征的，這與歐幾里得在他的幾何學(xué)杰作《幾何原本》（約公元前 300年）中引入數(shù)學(xué)的公理化的演繹的途徑形成了鮮明的對(duì)照。在那部書里歐幾里得在顯示的定義和少數(shù)幾個(gè)公理或者說是自明的真理的基礎(chǔ)上，進(jìn)而在嚴(yán)格幾何的背景下，導(dǎo)出了已知的結(jié)果——但幾乎可以斷定還有一些迄今未知的結(jié)果，在公理化背景下確定了歐幾里得嚴(yán)格性的標(biāo)準(zhǔn)。但是這種本質(zhì)上是幾何的文本與代數(shù)有什么關(guān)系？考慮《幾何原本》卷Ⅱ的第六個(gè)命題。這一卷表面上是講平面圖形，特別是四邊形的：

若直線AB在C點(diǎn)平分，在把直線BD加上去，成為直線AD。由整個(gè)直線AB和加上去的直線BD為一邊，以加上去的直線BD為另一邊AK成一矩形ADMK。它與半條直線上的正方形合在一起，等于半條直線CB加上附加上的直線BD】的正方形。

雖然看起來是作了一個(gè)幾何作圖，它也可以同樣看成是兩個(gè)幾何作圖（即一個(gè)矩形和一個(gè)正方形）的面積相等。所以，它描述的事實(shí)應(yīng)該能夠?qū)懗梢粋€(gè)方程式。

上給出了歐幾里得的作圖的圖示：先證明了矩形ADMK的面積等于矩形CDML和HMFG的面積之和，然后再把CB邊上的正方形，即LHGE，分別加到矩形CDML和HMFG上去，這就給出了正方形CDFE。不難看到這就等價(jià)于中學(xué)里講的"補(bǔ)成長(zhǎng)方形的方法"。如果再令CB=a，BD=b，又看到它等價(jià)于代數(shù)等式（2a＋b）b＋a^2=（a＋b）^2。確實(shí)是等價(jià)，但是對(duì)于歐幾里得，這是一個(gè)特定的幾何作圖，一種特定的幾何等價(jià)性。由于這個(gè)關(guān)于幾何學(xué)的理由，歐幾里得除了正的實(shí)量以外，不可能處理其他對(duì)象，而幾何圖形的邊只可能用這種量來量度。負(fù)的量沒有進(jìn)入，也不可能進(jìn)入，歐幾里得的數(shù)學(xué)天地基本上是幾何的數(shù)學(xué)天地。

雖然后來歐幾里得關(guān)于嚴(yán)格性的幾何標(biāo)準(zhǔn)被視為數(shù)學(xué)成就的一個(gè)頂峰，但在許多方面，它在經(jīng)典的希臘古籍的數(shù)學(xué)里面并非典型的。這方面的例子沒有比阿基米德更好的了，而許多人認(rèn)為在所有歷史時(shí)期中，如阿基米德這樣的最偉大數(shù)學(xué)家不過三四人而已。而阿基米德也如歐幾里得一樣，是幾何地提出和解決特定問題的。當(dāng)由幾何學(xué)規(guī)定了嚴(yán)格性的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，不僅負(fù)數(shù)得不到考慮，而且我們認(rèn)為是多項(xiàng)式方程的，只要次數(shù)大于3，也基本上得不到考慮。

然而，還有一位具有極大重要性的數(shù)學(xué)家，就是亞歷山大里亞的丟番圖，而他在三世紀(jì)中葉是很活躍的。他也像阿基米德一樣。提出的都是特定問題。但是他是以一種算法風(fēng)格去解決這些問題的，比起阿基米德的幾何作圖方法。更相似于老巴比倫的文本。

丟番圖的名著是《算術(shù)》（Arithmetica）一書，他在其中提出了一般的不定問題，而在給出特定的解法以前，先要確定解應(yīng)該具有特定的形式。他對(duì)這些問題的表述與純粹使用文字的風(fēng)格大不相同，而影響了他以后的好幾個(gè)世紀(jì)。他使用的記號(hào)也更加代數(shù)化，最終證明對(duì)于16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家頗有啟發(fā)。特別是他使用了特殊的簡(jiǎn)寫方式，使他能夠處理未知數(shù)的前六個(gè)正負(fù)冪以及零次冪。這樣，他的數(shù)學(xué)再也不能是歐幾里得和阿基米德那樣的“幾何化的代數(shù)”了。

例如考慮《算術(shù)》卷Ⅱ里的一個(gè)題目：

求三個(gè)數(shù)，使其中任一個(gè)的平方減去下一個(gè)都等于一個(gè)平方。

用現(xiàn)代記號(hào)來寫，他先規(guī)定關(guān)注以下形式的解：（x＋1，2x＋1，4x＋1）。很容易看到

所以附加條件中有兩個(gè)已經(jīng)滿足。但是他還要求

也是一個(gè)完全平方，他就隨意地令此式等于25x^2，所以就得到16x^2＋7x=25x^2，丟番圖由此決定取x=7/9來滿足這個(gè)條件。這樣他就得到了問題的一個(gè)解

于是問題解決。他并沒有給出解法的幾何論證，因?yàn)樗X得沒有必要；他需要的就是一單個(gè)數(shù)值解。他沒有建立起我們認(rèn)為是更一般的方程組，也沒有打算找出所有的解

丟番圖生活于阿基米德去世后四個(gè)世紀(jì)，他既不研究幾何學(xué)，也不研究現(xiàn)代意義下的代數(shù)學(xué)，他所提出的問題和得到的解答也和歐幾里得及阿基米德大不相同。 丟番圖在何種程度上是創(chuàng)造了一個(gè)全新的途徑，或者只是延續(xù)了亞歷山大里亞可以稱為"算法化的代數(shù)"的傳統(tǒng)，而與"幾何代數(shù)"相對(duì)立，對(duì)此學(xué)者們?nèi)圆磺宄?。但是很清楚?strong>當(dāng)丟番圖的思想在16世紀(jì)傳入拉丁西方后，這些思想對(duì)于長(zhǎng)期受到幾何學(xué)的權(quán)威制約的數(shù)學(xué)家們提出了新的可能性。

中世紀(jì)的伊斯蘭世界

然而數(shù)學(xué)思想的傳遞是一個(gè)復(fù)雜的過程．在羅馬帝國(guó)覆滅以及學(xué)術(shù)在西方繼之衰落以后、無論是歐幾里得的傳統(tǒng)還是丟番圖的傳統(tǒng)最后都進(jìn)入了中世紀(jì)的伊斯蘭世界。在那里，這些傳統(tǒng)不僅得到了保存，還得到了進(jìn)一步的研究與擴(kuò)展。

阿爾·花拉子米是巴格達(dá)的皇家建立的"智慧宮"里的學(xué)者。他把歐幾里得的《幾何原本》第二卷里面所講的幾何論證，和可以追溯到古代巴比倫的精巧的解題算法連接了起來。特別是，他寫了一本關(guān)于實(shí)用數(shù)學(xué)的書，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為《代數(shù)學(xué)》。因?yàn)樗皇褂秘?fù)系數(shù)和零系數(shù)，所以就把現(xiàn)在只需歸為一類的二次方程式，分成了六類。例如，他考慮了所謂“平方和根等于數(shù)”的一類的一個(gè)例子：“一個(gè)平方和十個(gè)根等于三十九"，他的用乘法、加法和減法來表示的算法解恰好與上面所說的泥磚上的解法完全一樣。

然而、對(duì)于阿爾·花拉子米，這還不夠，他說：“我們還必須用幾何來證明這個(gè)問題的解法是真理，而同是這個(gè)問題，我們已經(jīng)用數(shù)來解決了"，然后他就接著用幾何方法來"補(bǔ)足正方形"，很像歐幾里得在《幾何原本》第二卷中所做的那樣，不過沒有那么形式化。一位比阿花拉子米晚了大約一代人的埃及伊斯蘭數(shù)學(xué)家，在幾何算法背景下，引入了更高水平的歐幾里得形式化。這樣把二者并列使得幾何學(xué)里的面積和直線的關(guān)系可以用數(shù)值的乘法、加法和減法顯示地表現(xiàn)出來，這一關(guān)鍵的步驟終于提示了從特殊問題的幾何解法轉(zhuǎn)向一般類型的方程式的代數(shù)解法。

奧馬爾·哈亞姆（約公元 1050-1130），一位數(shù)學(xué)家和詩人，在這條路上走了另外一步。他寫了一部書，書名仿照阿爾·花拉子米的書，也叫《代數(shù)學(xué)》（Al-jabr），在書中他系統(tǒng)化地解決了我們現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到是三次方程式的問題，但是是在沒有負(fù)系數(shù)和零系數(shù)的情況下。哈亞姆也仿照花拉子米給出了幾何論證，但是他的著作更甚于他的前人，可以看作是對(duì)于特定問題的一般解題技術(shù)，也就是更接近代數(shù)概念。

拉丁西方

到了12和13世紀(jì)，伊斯蘭的學(xué)術(shù)成就，以及由伊斯蘭學(xué)者們譯為拉丁文而保存下來的希臘學(xué)術(shù)成就，已經(jīng)滲入中世紀(jì)的歐洲了。特別是斐波那契讀到了阿爾·花拉子米的著作，不僅認(rèn)識(shí)到其中詳細(xì)說明的阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)可以對(duì)會(huì)計(jì)和商業(yè)有用，也認(rèn)識(shí)到花拉子米的理論討論的重要性，包括認(rèn)識(shí)到我們可以解釋為一次和二次方程式的幾何證明與算法求解的聯(lián)立。在他著于1202年的《算經(jīng)》一書里，斐波那契幾乎是逐字陳述了花拉子米的工作，贊揚(yáng)其種種優(yōu)點(diǎn)，這樣就把這種知識(shí)和方法傳入了拉丁西方。

斐波那契對(duì)于阿爾·花拉子米的書，特別是對(duì)實(shí)用部分的介紹、很快就在歐洲流行開了，所謂的"abacus"學(xué)校（這里的abacus一字是指斐波那契的《算經(jīng)》一書，而不是中國(guó)的計(jì)算工具算盤，珠算算盤英文也是 abacusl）在意大利半島上興起如雨后春筍，特別是在14和15世紀(jì)，目的是為了日益商業(yè)化的西方世界訓(xùn)練會(huì)計(jì)和簿記人員。這些學(xué)校的教員，就是所謂"abacus 師傅"都是依賴在斐波那契的書中找到的算法，并且加以發(fā)展。另一個(gè)傳統(tǒng)，所謂Coss傳統(tǒng)（Coss 是一個(gè)德文詞，"有技巧的計(jì)算"，意味著代數(shù)），則在歐洲的日耳曼地區(qū)同時(shí)發(fā)展起來，目的在于把代數(shù)引入那里的主流。

1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利寫了一本書，它是所有當(dāng)時(shí)已知數(shù)學(xué)知識(shí)的概覽，即《概要》，而且還包含了威尼斯商人們?cè)谖乃噺?fù)興時(shí)期所用的會(huì)計(jì)系統(tǒng)，帕喬利也被稱為"會(huì)計(jì)學(xué)之父"。到了那時(shí)，花拉子米和斐波那契所陳述的幾何論證，在意大利本國(guó)語言中早已沒有了。帕喬利的《概要》就把這種幾何論證重新推上了數(shù)學(xué)的前臺(tái)．帕喬利不知道奧馬爾·哈亞姆的著作，還說二次方程式中只發(fā)現(xiàn)了阿爾·花拉子米和斐波那契所研究過的六種特殊情況，書中還講到三次方程式的求解。

帕喬利的書還突出了一個(gè)關(guān)鍵的未解決的問題：對(duì)于各種三次方程式能否找到算法解法？如果可以、對(duì)這些算法解法能否幾何地加以論證，而且得到實(shí)質(zhì)上類似于在阿爾·花拉子米和斐波那契的教材中的那些證明？

在好幾位最終肯定地回答了第一個(gè)問題的16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家中，就有卡爾達(dá)諾。他在1545年出版的《大術(shù)》（Ars Magna）一書，對(duì)于各種三次方程式提出了算法解法及其幾何論證，在阿爾·花拉子米和斐波那契“補(bǔ)足了正方形”的地方，有效地"補(bǔ)足了立方體"，他也提出了由他的學(xué)生費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的四次方程式的算法解法。這些解法使他感到困惑，因?yàn)闆]有幾何的論證。他在自己的書中寫道：“所有這一切，直至三次方程式在內(nèi)，都得到了完全的證明。但是其他我們想要加上的，或者出于不得已，或者出于好奇心，我們還只能提出來"。代數(shù)學(xué)在打破它孕育于其中的幾何的蛋殼。

代數(shù)學(xué)誕生了

丟番圖的《算術(shù)》在16世紀(jì)60年代被譯為拉丁文，帶來了它的簡(jiǎn)潔的風(fēng)格和非幾何的方法，加速了這個(gè)過程。代數(shù)，作為一種一般的解題的技巧，可以應(yīng)用于具有幾何、數(shù)論和其他數(shù)學(xué)分支背景的問題，是在幾本書里建立起來的，這里有龐貝里1572年的《代數(shù)》一書，特別是維特1591年的《分析的藝術(shù)引論》一書。這一本書的目的，用維特的話來說，就是"不留下任何沒有解決的問題"，而為此目的，他發(fā)展了真正的記號(hào)——用元音字母表示變數(shù)，而用輔音字母表示系數(shù)——還有解一個(gè)未知數(shù)的方程式的方法，他把他的技巧稱為"美麗非凡的算術(shù)運(yùn)算"。

然而，維數(shù)（表現(xiàn)為所謂齊次性定律）對(duì)于維特仍舊是一個(gè)問題。按照他的說法："只有齊次的量才可以互相比較"。問題在于他區(qū)別了兩種量："階梯量"，即（A邊）（用現(xiàn)在的記號(hào)就是x）、（A方）（用現(xiàn)在的記號(hào)就是x^2）、（A體）（用現(xiàn)在的記號(hào)就是x^3），還有"比較量"，就是系數(shù)，有一維的（B長(zhǎng)度）、二維的（B平面）、三維的（B 立體）等等。然后，按照齊次性定律，維特可以寫出（A 體）＋（B平面）（A邊）（用現(xiàn)在的記號(hào)就是x^3＋bx）。

因?yàn)椋ˋ體）的維數(shù)是3，二維系數(shù)（B平面）的維數(shù)是2。一維變數(shù)（A 邊）是1，所以其乘積的維數(shù)也是3。但是他不能合法地把三維變數(shù)（A體）和一維系數(shù)（B長(zhǎng)度）與一維變數(shù)（A邊）的二維乘積相加（而在現(xiàn)在的記號(hào)下，它仍是x^3＋bx）。盡管如此，他的《分析藝術(shù)》這本書仍然準(zhǔn)許他把字母與特定的數(shù)相對(duì)立來相加、相減、相乘和相除，而字母只要滿足齊次性定律就可以作二次、三次、四次，實(shí)際上是任意次的冪。他有了一個(gè)初步的代數(shù)，但是未能用之于曲線。

最先做到這一點(diǎn)的數(shù)學(xué)家是費(fèi)馬和笛卡兒。他們互相獨(dú)立地發(fā)展的解析幾何、對(duì)于今天學(xué)代數(shù)的中學(xué)生來說是非常熟悉的。費(fèi)馬和英國(guó)人哈里奧特的工作受到維特的影響，而笛卡兒不僅引入了我們今天的記號(hào)規(guī)約（即用x，y，z表示變量，用a，b，c表示常數(shù)），而且開始把代數(shù)算術(shù)化．他引進(jìn)了一個(gè)單位，這就使他可以把所有幾何量都解釋為直線段，不管是x，x^2，x^3，x^4，以至于x的任意次冪，都是直線段，這樣他就消除了對(duì)于齊次性的擔(dān)心。

費(fèi)馬在這個(gè)方向的主要工作是他用拉丁文寫于1636年的一篇手稿，題為“論平面和立體的軌跡”，這篇手稿只在17世紀(jì)初在他的數(shù)學(xué)朋友們中間流傳；笛卡兒的主要著作《幾何學(xué)》則是他的哲學(xué)著作《方法論》的三個(gè)附錄之一，出版于1637年。這兩部著作都被認(rèn)為是確定了幾何曲線與二未知數(shù)的方程的同一性，或者換句話說就是建立了解析幾何，從而把代數(shù)方法引用來解決以往認(rèn)為是幾何的問題。在費(fèi)馬的情況，這些曲線是直線和圓錐截線————總之是x和y的二次式；笛卡兒也這樣做了，但是他還更為一般地考慮了方程式，抓住了多項(xiàng)式方程的根的問題，這與多項(xiàng)式的變換和化簡(jiǎn)有關(guān)。

特別是，笛卡兒對(duì)于我們現(xiàn)在所說的代數(shù)的基本定理已經(jīng)有了一個(gè)初步的版本，雖然他沒有給出證明，甚至沒有給出一般的陳述。這個(gè)定理說，n次多項(xiàng)式方程

在復(fù)數(shù)域中恰好有n個(gè)根。例如，他一方面堅(jiān)持，一個(gè)給定的n次多項(xiàng)式可以分解為n個(gè)線性因子，同時(shí)他也認(rèn)識(shí)到，三次方程式x^3-6x^2＋13x-10=0有3個(gè)根：一個(gè)實(shí)根2，還有兩個(gè)復(fù)根。當(dāng)他進(jìn)一步探討這個(gè)問題時(shí)，還發(fā)展了包含適當(dāng)?shù)淖儞Q的代數(shù)技巧來分析5次和6次多項(xiàng)式方程。笛卡兒既然已經(jīng)擺脫了對(duì)于齊次性的擔(dān)心，就可以自由地用他的代數(shù)技巧來探討傾向于幾何的卡爾達(dá)諾很明顯難以涉足的領(lǐng)域。牛頓在1707年他的《萬有算術(shù)》（Arithmeica Universalis）一書里，在把代數(shù)從幾何的擔(dān)心中解放出來的方向上又向前走了一步，論證代數(shù)的完全算術(shù)化，以實(shí)數(shù)和通常的算術(shù)運(yùn)算作為代數(shù)的模型

笛卡兒的《幾何學(xué)》至少突出了兩個(gè)問題供代數(shù)作進(jìn)一步探討，即代數(shù)的基本定理和四次以上的多項(xiàng)式方程式的解法。雖然18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家如達(dá)朗貝爾和歐拉都企圖證明代數(shù)的基本定理，但是給出嚴(yán)格證明的第一人是高斯，他在一生中共給出了四種不同的證明。

第一個(gè)是一個(gè)代數(shù)幾何證明，出現(xiàn)在他1799 年的博士論文中，而第二個(gè)證明與此不同，發(fā)表在1816年，而用現(xiàn)代術(shù)語來說，本質(zhì)地涉及構(gòu)作多項(xiàng)式的分裂域，代數(shù)的基本定理確定了一個(gè)給定的多項(xiàng)式方程有多少個(gè)根，但是對(duì)于這些根確切地是什么，又如何精確地把它們找出來，這個(gè)定理沒有提出任何見解。那個(gè)問題和它的種種數(shù)學(xué)變形，在18世紀(jì)晚期和19世紀(jì)激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家，而且最終成為在 20 世紀(jì)初形成現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的幾條數(shù)學(xué)線索之一。來自代數(shù)的基本定理的另一股數(shù)學(xué)潮流來自企圖理解（一個(gè)或多個(gè)）n個(gè)未知數(shù)的多項(xiàng)式組的一般性態(tài)，還有一個(gè)潮流則來自用代數(shù)方法研究數(shù)論問題的努力。

尋求代數(shù)方程的根

求多項(xiàng)式方程的根的問題，提供了一個(gè)連接中學(xué)教學(xué)與做研究的數(shù)學(xué)家的一個(gè)直接聯(lián)系。今天的中學(xué)生們都要使用二次方程的公式來計(jì)算二次方程式的根。為了導(dǎo)出這個(gè)公式、我們需要把已給的方程變換成比較容易求解的形式。卡爾達(dá)諾和費(fèi)拉里對(duì)于三次和四次方程也通過比較復(fù)雜的操作得到了根的公式。自然要問對(duì)于更高次的多項(xiàng)式方程能不能也這樣做？更準(zhǔn)確地說，有沒有一個(gè)求根的公式，其中只含有通常的算術(shù)運(yùn)算——加、減、乘、除以及開方？如果有這樣的公式，就說這個(gè)方程可以用根式求解。

雖然18世紀(jì)的許多數(shù)學(xué)家（包括歐拉、范德蒙德、華林、貝祖）都對(duì)于能否用根式解更高次的多項(xiàng)式方程做過努力，但是直到大約1770-1830年間才有了顯著的突破，特別是在拉格朗日、阿貝爾和高斯的工作中。

拉格朗日在1771年發(fā)表的一組很長(zhǎng)的論文《對(duì)于方程的代數(shù)解法思考》中，試圖通過詳細(xì)分析三次和四次方程的特例，來決定代數(shù)方程解法下面是否有深層的一般原理。拉格朗日以卡爾達(dá)諾的工作為基礎(chǔ)，證明了一個(gè)形如x^3+ax^2+bx+c=0的三次方程總可以通過一個(gè)變換來消除其中的平方項(xiàng)，成為x^3＋px+q=0，而且其根可以寫成x=u＋v，其中u^2，n^3 是某個(gè)二次方程之根。然后拉格朗日就可以證明，如果 x_1，x_2，x_3是這個(gè)三次方程的三個(gè)根，則中介的函數(shù) u，v可以寫成

其中的α是一個(gè)三次單位原根。這就是說，u，v可以寫成x_1，x_2，x_3的有理表達(dá)式，或稱為預(yù)解式。反過來，如果從x_1，x_2，x_3的一個(gè)線性表達(dá)式

開始，然后讓x_1，x_2，x_3作任意的排列得到6個(gè)表達(dá)式，其每一個(gè)都是一個(gè)6次方程的根，分析這個(gè)6次方程（利用多項(xiàng)式的對(duì)稱性質(zhì)），就會(huì)再次得到上面u，v的表達(dá)式。拉格朗日指出，像這樣的向兩端分析涉及中介的表達(dá)式，這些表達(dá)式又都是一個(gè)可解的方程之根，同時(shí)也涉及某個(gè)有理表達(dá)式在根的排列下的動(dòng)態(tài)，這樣做，在三次和四次兩種情況下都會(huì)給出完全的解。即同樣一種途徑，給出了兩類方程的解答。

但是這個(gè)方法可否推廣到五次和更高次多項(xiàng)式呢？拉格朗日未能把它推進(jìn)到5次情況，但是以他的思想為基礎(chǔ)，首先是他的學(xué)生魯菲尼在18與19世紀(jì)之交懷疑5次方程其實(shí)不可能用根式來解，然后是年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾，在19世紀(jì)20年代，確定地證明了5次方程確實(shí)不能用根式來解。這個(gè)反面的結(jié)果仍然留下一個(gè)未解決的問題：哪些代數(shù)方程可以用根式來解，為什么。

拉格朗日的分析似乎是強(qiáng)調(diào)了一點(diǎn)：這個(gè)問題在3次和4次方程的情況下的解決、關(guān)鍵性地分別依賴于3次和4次單位根。由單位根的定義，也就是依賴于特別簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式方程x^3-1=0，x^4-1=0。所以很自然地會(huì)去檢驗(yàn)一般的所謂分圓方程式x^n-1=0，并且考慮對(duì)于哪些n、n次單位根是可以實(shí)際構(gòu)作出來的。 這個(gè)問題用等價(jià)的代數(shù)語言來表述就是：對(duì)于哪些n、n次單位根可以對(duì)整數(shù)通過通常的算術(shù)運(yùn)算和開平方（但不開更高次方）表示出來？

這是高斯在他的《算術(shù)研究》里所討論的許多問題之一。他最著名的結(jié)果之一就是正17邊形可以用圓規(guī)和直尺作出來（也就是17次單位根可以構(gòu)作出來）。在他的分析過程中，不但使用了類似于拉格朗日所發(fā)展出來的技巧，還發(fā)展了一些關(guān)鍵性的概念，例如模算術(shù)和p為素?cái)?shù)時(shí)的“模世界”以及后來稱為循環(huán)群的本原元素（即生成元）的概念。

大約1830年左右，伽羅瓦從拉格朗日關(guān)于預(yù)解式的分析和柯西關(guān)于排列和代換的工作得到了多項(xiàng)式方程可用根式求解這個(gè)一般問題的答案，然而我們并不清楚伽羅瓦在多大程度上也熟悉高斯的工作。雖然伽羅瓦的工作借用了早前的思想，但是在一個(gè)重要的方面，它基本上是全新的。前人的努力是朝向計(jì)算次數(shù)一定的多項(xiàng)式方程的根的顯式的算法，伽羅瓦則提出了一個(gè)理論程序，使得他能夠評(píng)定出一個(gè)方程是否可解，而這種程序是從給定的方程導(dǎo)出的，但是更為一般。

更詳細(xì)一點(diǎn)來說，伽羅瓦用了兩個(gè)新的概念重新改造了這個(gè)問題。這兩個(gè)概念就是：域（伽羅瓦稱之為“有理性的區(qū)域”）和群（準(zhǔn)確一點(diǎn)說是置換群）。如果一個(gè)n次多項(xiàng)式方程f（x）=0的n個(gè)根都在它的有理性區(qū)域（其系數(shù)就來自這個(gè)域），我們稱之為基域，就說這個(gè)方程在此基域上是可約的；反之則說它在此域上是不可約的。然而，它可能在一個(gè)較大的域上是可約的。例如，考慮多項(xiàng)式x^2＋1 作為R上的多項(xiàng)式。我們從中學(xué)代數(shù)里就知道，它不能分解為兩個(gè)實(shí)線性因子的乘積，但是它在復(fù)數(shù)域上則可以分解

所以如果考慮所有形如α+bi的數(shù)，其中 a，b∈R，就會(huì)得到一個(gè)較大的域 C，使得多項(xiàng)式x^2＋1在其上是可約的。如果F是一個(gè)域，而 x ∈F在其中不能開n 次方，則利用一個(gè)類似的過程，可以把一個(gè)元y添加到F中去，這個(gè)y要規(guī)定適合y^n=x，稱為一個(gè)根式。添加以后就得到一個(gè)新域，比原來的F更大。伽羅瓦證明了如果可以通過添加根式，而逐次地把F擴(kuò)大為一個(gè)域K，使得f（z）可以在K中分解為n個(gè)線性因子，則f（x）=0可以用根式解出。他發(fā)展了一個(gè)程序，其中有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是把一個(gè)元素 ，特別是一個(gè)所謂的本原元素，附加到基域上去的概念；二是分析這個(gè)新的擴(kuò)大了的域的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，就是分析所有這樣的代換，使得f（x）=0的n 個(gè)根的有理表達(dá)式不變。

這些代換（即K的自同構(gòu)）形成一個(gè)（有限）群，而伽羅瓦就是對(duì)這個(gè)群進(jìn)行分析，伽羅瓦分析的這個(gè)群論的側(cè)面特別具有潛力，他引進(jìn)了一些概念，雖然用的不是當(dāng)今的名詞。例如群的正規(guī)子群、因子群、可解群等等。這樣，伽羅瓦就從群及其內(nèi)部結(jié)構(gòu)這個(gè)抽象的視野，解決了多項(xiàng)式方程何時(shí)可以用根式求解這個(gè)具體的問題。

伽羅瓦的思想，雖然是在19世紀(jì)30年代早期就概括地提出了，但是遲遲沒有引起更廣大的數(shù)學(xué)界的注意，直到1846年才在劉維爾的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表，但沒有得到充分的理解，直到20年后首先在塞雷特的《高等代數(shù)教程》，更進(jìn)一步在約當(dāng)?shù)摹墩摯鷵Q和代數(shù)方程》這兩部教材中得到了進(jìn)一步的闡述。特別是后一本書，不僅突出了伽羅瓦在求解代數(shù)方程上的工作，還把置換群的理論沿著它在拉格朗日、高斯、柯西、伽羅瓦等手上的發(fā)展道路，展開了其一般的結(jié)構(gòu)理論。

到了19世紀(jì)末，群論的發(fā)展線索，原來是來自用根式求解代數(shù)方程的努力，現(xiàn)在與來自其他三個(gè)方面的努力組合在一起了。這三個(gè)方面就是：

到了1893年，韋伯把這些早期的工作匯編起來給出了第一個(gè)關(guān)于群和域這兩個(gè)概念真正的抽象定義，這樣就把它們重新鑄造成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們熟悉得多的形式，這以后群和域已經(jīng)在極為廣泛的數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中有了中心的重要性。

探討 n 個(gè)未知數(shù)多項(xiàng)式的性態(tài)

求解代數(shù)方程的根的問題，是求解含有1個(gè)未知數(shù)的多項(xiàng)式方程。然而，早在17世紀(jì)后期，像萊布尼茲這樣的數(shù)學(xué)家就開始關(guān)心求解含兩個(gè)以上未知數(shù)的聯(lián)立的線性方程組的技巧了。但是他的工作不為當(dāng)時(shí)的人所知，萊布尼茲考慮了含有3個(gè)未知數(shù)的3個(gè)線性方程，并且以系數(shù)的一個(gè)特殊表達(dá)式的值來決定其可解性．這個(gè)表達(dá)式就等價(jià)于柯西后來稱的行列式，而且最終與系數(shù)的一個(gè)n×n正方形的陣列，即矩陣聯(lián)系起來。

這些工作在18世紀(jì)中期也由克拉默在求解含n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程這個(gè)一般背景下獨(dú)立地完成。行列式理論，很快地就從這些起源獨(dú)立于求解線性方程組的背景、自身變成了代數(shù)研究的主題，吸引了諸如范德蒙德、拉普拉斯和柯西這樣的人的注意。這樣，行列式就成了新代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)例子，它的性質(zhì)也被系統(tǒng)地研究了。

雖然行列式是被從矩陣角度來研究的，但矩陣本身及其名稱卻是由西爾維斯特提出的，其理論本身最初并不是始自求解線性聯(lián)立方程，而是來自對(duì)含有兩個(gè)、三個(gè)以至一般的n個(gè)變?cè)凝R次多項(xiàng)式作變?cè)木€性變換而來的。例如高斯在《算術(shù)研究》里面就考慮了具有整數(shù)系數(shù)的二元、三元的二次型

這樣的表達(dá)式怎樣受到變?cè)木€性變換的影響。在三元形式情況下，高斯作了3個(gè)2變量的線性變換

并且把這個(gè)變換的系數(shù)排成一個(gè)正方形的陣列

而且在表明兩個(gè)變換的復(fù)合是什么的過程中，顯式地給出了矩陣乘法法則的例子。 到19世紀(jì)中葉，凱萊開始研究矩陣本身，研究矩陣的理論作為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)本身就具有的性質(zhì)。這樣的思路最終被用代數(shù)理論來重新加以解釋，發(fā)展成為線性代數(shù)和向量空間理論的獨(dú)立的篇章。

另一個(gè)從分析齊次多項(xiàng)式作線性變換而出現(xiàn)的理論是不變式理論，而這也是由高斯的《算術(shù)研究》開端的。和他研究三元二次型的情況一樣，他也對(duì)二元的二次型作線性變換

結(jié)果得到一個(gè)新的二元形式

高斯注意到，如果把第二個(gè)式子平方，再減去第一、第三兩個(gè)式子的乘積就會(huì)得到關(guān)系式

如果用西爾維斯特在19世紀(jì) 50年代早期發(fā)展起來的語言來說，高斯已經(jīng)認(rèn)識(shí)到原來的二元二次型的系數(shù)的表達(dá)式

是一個(gè)不變式。意即在上述線性變換下，它的值除了增加了變換行列式的冪以外，并未變化。當(dāng)西爾維斯特造出這個(gè)名詞的時(shí)候，不變這個(gè)現(xiàn)象也出現(xiàn)在英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾的工作中，而引起了凱萊的注意。但是一直到凱萊和西爾維斯特在19世紀(jì)40年代晚期在倫敦相遇以后，他們才開始追隨不變式理論本身，其目的是找出一個(gè)含有n個(gè)未知數(shù)的m次齊次多項(xiàng)式的所有不變式，以及多個(gè)這種多項(xiàng)式的同時(shí)的不變式。

雖然凱萊（特別是西爾維斯特）是從純代數(shù)觀點(diǎn)來追隨這條研究路線的，不變式理論在數(shù)論和幾何學(xué)方面也有意義，前者有艾森斯坦和厄爾米特；后者則有奧托·哈塞、哥爾丹和克萊布什等人。特別有趣的是去了解與一個(gè)特定的形式或一組特定的形式相關(guān)的到底有多少個(gè)"真正不同的"不變式。1868年，哥爾丹取得了重要突破，證明了任意二元形式的所有不變式都可以用其中有限多個(gè)表示出來。但是，當(dāng)他開始考慮更多元形式時(shí)，終因計(jì)算太繁而失敗。

然而，到了19世紀(jì)80年代末 90年代初，希爾伯特引入了新的抽象的與代數(shù)理論相關(guān)的新概念，不僅重新證明了哥爾丹的結(jié)果，而且也證明了這個(gè)結(jié)果（稱為有限性定理）：對(duì)于任意多的n個(gè)未知數(shù)的任意高m次齊次多項(xiàng)式都是成立的。由于希爾伯特的這項(xiàng)工作，研究的重點(diǎn)就從具體計(jì)算轉(zhuǎn)到指向結(jié)構(gòu)的存在定理，這很快就與抽象的現(xiàn)代代數(shù)聯(lián)系起來了。

尋求對(duì)于“數(shù)”的性質(zhì)的理解

早至公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就已經(jīng)從形式角度去研究過數(shù)的性質(zhì)。例如，他們定義了完全數(shù)的概念，即等于自己的所有因子（除此數(shù)本身以外）之和的正整數(shù)，例如6=1＋2＋3，28=1＋2＋4＋7＋14。到了16世紀(jì)卡爾達(dá)諾和龐貝里都去研究一種新的形如

的表達(dá)式，其中a，b是實(shí)數(shù)，而且探討了它們的計(jì)算性質(zhì)。到17世紀(jì)，費(fèi)馬高調(diào)宣稱他能夠證明當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)，方程

沒有整數(shù)解，這一結(jié)果稱為費(fèi)馬大定理。18和19世紀(jì)，當(dāng)人們?cè)噲D證明費(fèi)馬所聲稱的結(jié)果確實(shí)為真時(shí)，他們的努力的核心思想是生成新的數(shù)系并從代數(shù)上去研究它們。這些數(shù)系之推廣整數(shù)的概念和伽羅瓦對(duì)于域的推廣非常相似。這種生成和分析新數(shù)系的靈活性、當(dāng)代數(shù)學(xué)進(jìn)入20世紀(jì)時(shí)，將要成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。

第一個(gè)沿著這條道路前進(jìn)的人是歐拉。當(dāng)他證明n=3時(shí)的費(fèi)馬大定理時(shí)，引進(jìn)了形如

的數(shù)所或的數(shù)系，其中 a，b是整數(shù)。然后他就把它們分解為素因子，和分解普通的整數(shù)一樣，而不作進(jìn)一步的論證。到了19世紀(jì)二三十年代，高斯對(duì)于現(xiàn)在稱為高斯整數(shù)的數(shù)系進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究。高斯整數(shù)就是形如

的數(shù)，其中 a、b是整數(shù)。他證明了高斯整數(shù)和普通的整數(shù)一樣，在加、減、乘下面都是封閉的；他定義了單位元、素?cái)?shù)和范數(shù)等概念，以便對(duì)于它們證明算術(shù)的基本定理仍成立。這樣他就證實(shí)了還有完整的新的代數(shù)世界等待人們?nèi)?chuàng)造和探索。

歐拉是受到了他在費(fèi)馬大定理方面的工作的推動(dòng)，而高斯則是試圖把二次互反律推廣為雙二次互反律。在二次的情況下，問題是：若a和m都是整數(shù)，而m≥2，我們說a是一個(gè)平方剩余 mod m，如果方程x^2=a有一個(gè)解 mod m存在，也就是說，存在一個(gè)整數(shù)x使得x^2=a mod m?，F(xiàn)在設(shè)p，q是互異的奇素?cái)?shù)。如果知道p是否平方剩余 mod q。是否有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法來說出q是否也是一個(gè)平方剩余 mod p？

勒讓德在1785年提出并且回答了這個(gè)問題：如果p和q都是同余于1 mod 4，則p mod q， q mod p 的情況是一樣的；如果 p 和 q 都是同余于3 mod 4，則它們的情況相反。但是勒讓德的證明是有問題的。

到1796年左右，高斯得到了第一個(gè)嚴(yán)格的證明（而且他最終一共得到了8個(gè)不同的證明）。在19世紀(jì)20年代，高斯就雙二次等價(jià)性提出了類似問題，即

正是由于企圖回答這個(gè)新問題，使得高斯提出了高斯整數(shù)，而且發(fā)出了一個(gè)信號(hào)：更高次剩余理論需要其他類型的"整數(shù)"。雖然艾森斯坦、狄利克雷、厄爾米特、庫默爾、克羅內(nèi)克等人都按照高斯的精神把這些思想推向前進(jìn)，直到戴德金在1871年為狄利克雷的《數(shù)論講義》所寫的第10個(gè)附錄才基本上通過提出新概念，不是由數(shù)論的觀點(diǎn)，而是由集合論的觀點(diǎn)，公理化地重新處理這個(gè)問題。例如提出了一些一般概念如城、環(huán)、理想和模，而用這些新的抽象結(jié)構(gòu)來分析他的數(shù)論背景。

從哲學(xué)角度看來，他的戰(zhàn)略和伽羅瓦的并無大異：把手頭的“具體”問題，翻譯為新的更加抽象的語言，使得能在“更高”的層次上更干凈地加以解決。到了20世紀(jì)初，艾米·諾特把戴德金的思想推向前進(jìn)，有助于創(chuàng)造一種從結(jié)構(gòu)的角度看待代數(shù)的途徑，這對(duì)于20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)是一個(gè)特征。

與歐洲大陸上19世紀(jì)"數(shù)"的概念的數(shù)論性質(zhì)的演化相平行，產(chǎn)生了一組非常不同的發(fā)展方向，首先發(fā)生在英倫諸島。在19世紀(jì)30年代，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓提出了對(duì)于復(fù)數(shù)的“統(tǒng)一的”解釋，而原來的情況在他看來是回避了一個(gè)邏輯問題：實(shí)數(shù)加虛數(shù)，猶如桔子加蘋果，是什么意思？給定了實(shí)數(shù)a和b 以后，哈密頓把復(fù)數(shù)a＋bi當(dāng)作是一個(gè)有序?qū)?/strong>（哈密頓稱之為一個(gè)“偶”）（a，b）。 然后，他就來定義這些偶的加、減、乘、除。當(dāng)他認(rèn)識(shí)到這也提供了一個(gè)表示復(fù)平面上的點(diǎn)的方法以后，他自然地就會(huì)問，能否構(gòu)造一種代數(shù)的有序三元組來表示3 維空間的點(diǎn)。

在對(duì)這個(gè)問題作了10年時(shí)斷時(shí)續(xù)的沉思以后，哈密頓最終不是用三元組，而是用四元組回答了這個(gè)問題，這就是所謂四元數(shù)。四元數(shù)就是這樣的“數(shù)”：

其中 a，b，c和d是實(shí)數(shù)，而i，j，k 滿足以下的關(guān)系式：

和在2維情況一樣，加法可以按分量來定義，而乘法則是這樣定義的：雖然每一個(gè)非零元都有乘法逆，但是卻是不可交換的。這樣，新的數(shù)系不服從算術(shù)的"通常的"法則。

雖然，英國(guó)的哈密頓的同時(shí)代人中，有一些人質(zhì)問：數(shù)學(xué)家有多大的自由來創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)世界、另一些人如凱萊立刻把這個(gè)思想向前發(fā)展，提出一種八元數(shù)，其乘法不僅是不可交換的，后來還發(fā)現(xiàn)甚至不適合結(jié)合律。對(duì)于這種系統(tǒng)自然發(fā)生了一些問題，但是哈密頓本人就提出了以下的問題，即如果系數(shù)域，或稱基域，不是實(shí)數(shù)而是復(fù)數(shù)，又會(huì)發(fā)生什么情況？這時(shí)，容易看到兩個(gè)復(fù)四元數(shù)

換句話說，復(fù)四元數(shù)中有零因子，即相乘以后得零的非零元素，這是另一個(gè)把它們與整數(shù)的性質(zhì)基本區(qū)別開來的性質(zhì)。在一些數(shù)學(xué)家們的努力下，這一條思路導(dǎo)致了一種能夠自立的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這種結(jié)構(gòu)叫做"代數(shù)"。這個(gè)發(fā)展自然地和矩陣?yán)碚撏ㄟ^高斯、凱萊和西爾維斯特的工作結(jié)合起來。它也和并非無關(guān)的向量空間融合起來（n維代數(shù)就是除加法和內(nèi)積以外還有一個(gè)向量乘法的n維向量空間），這是來自類似于格拉斯曼的某些思想的。

現(xiàn)代代數(shù)

到了1900年，許多代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)被確認(rèn)了，其性質(zhì)也被探討了。原來各在自己的背景下的孤立的結(jié)構(gòu)現(xiàn)在也在其他背景下被發(fā)現(xiàn)了，有時(shí)還全是意料之外的事。這樣，這些結(jié)構(gòu)比起原來發(fā)現(xiàn)它們時(shí)人們所了解的在數(shù)學(xué)上還要更加一般，在20 世紀(jì)的前幾十年里面，代數(shù)學(xué)家越來越認(rèn)識(shí)到這些共同點(diǎn)，即它們都具有群、環(huán)、域這些結(jié)構(gòu)，而在更抽象的水平上考慮問題。例如有哪些有限單群？它們能否分類？

此外受到康托、希爾伯特和其他人的集合論和公理化的工作的啟示，他們也欣賞起分析的公共標(biāo)準(zhǔn)，并且把公理化給分析帶來的結(jié)果與自己領(lǐng)域的情況加以比較。例如斯坦尼茲在1910年給出了域的抽象理論的基礎(chǔ)工作，而四年以后，弗朗克爾也對(duì)環(huán)的理論做了這件事。當(dāng)范德瓦爾登在19世紀(jì) 20年代末認(rèn)識(shí)到這些可以解釋為：在基本原則上與希爾伯特在不變式理論中的工作、與戴德金和艾米·諾特在代數(shù)數(shù)論中的工作都互相吻合。這樣一種解釋在1930年就成了范德瓦爾登的經(jīng)典的教科書《近世代數(shù)》，成了以結(jié)構(gòu)為指向的"現(xiàn)代的代數(shù)學(xué)"的典范，而包含了中學(xué)教的多項(xiàng)式代數(shù)，而且仍然刻畫了今天的代數(shù)思想。