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2022年高考已經(jīng)結(jié)束了幾天，但是關(guān)于高考的討論卻并沒有停歇，特別是對(duì)新高考1卷數(shù)學(xué)難度的爭(zhēng)論引起了全網(wǎng)的關(guān)注。新高考1卷數(shù)學(xué)考完后，不少考生直言太難了，網(wǎng)友也紛紛預(yù)測(cè)今年采用新高考1卷的地區(qū)的錄取分?jǐn)?shù)線會(huì)出現(xiàn)一定程度的下降。

新高考1卷數(shù)學(xué)究竟難到什么程度呢？有一位成都高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練在高考后挑戰(zhàn)了一下這套高考試卷，結(jié)果多少令人有些意外。這位教練花了2個(gè)小時(shí)，最終“只”得到了135分，而且這位教練直接跳過了2道題，即12題和16題，也就是選擇題和填空題的壓軸題。

當(dāng)然，出現(xiàn)這樣的結(jié)果也在情理之中，畢竟這位教練已經(jīng)兩年沒有做過高考試卷了，而競(jìng)賽題與高考題在思維上還是有一些差異，所以這位教練能夠在2個(gè)小時(shí)內(nèi)得到135分已經(jīng)非常厲害了。

本文就和大家分享一下這道讓競(jìng)賽教練也直接放棄的填空壓軸題，老師通過詳細(xì)地講解讓學(xué)生能夠更好的理解。

這道題考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)。下面來看看這道題的具體解法。

由橢圓的離心率為1/2就可以得到a=2c，而在橢圓中有a^2=b^2+c^2，從而得到b=√3c，于是橢圓方程就可以表示為x^2/(4x^2)+y^2/(3y^2)=1。這樣一來，橢圓方程中就只含有一個(gè)參數(shù)了，所以也只需要一個(gè)條件就能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程了，而題干中還有一個(gè)條件|DE|=6沒有使用。

顯然，要求|DE|的長(zhǎng)度可以用弦長(zhǎng)公式，所以需要表示出直線DE的方程并與橢圓方程聯(lián)立。

由題意知，直線AF2的斜率應(yīng)為-b/c=-√3，而DE垂直于AF2，所以直線DE的斜率就是√3/3，方程就可以表示為y=√3(x+c)/3。代入橢圓方程，消去y，整理后得到13x^2+8cx-32c^2=0。然后代入弦長(zhǎng)公式，就可以求出c的值，進(jìn)而得到a、b的值和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

到了這一步其實(shí)并不難，但是很多同學(xué)卻發(fā)現(xiàn)很難再繼續(xù)算下去了，因?yàn)楹茈y找到AD、AE的長(zhǎng)度，那么該怎么辦呢？

再回憶一下前面的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)直線AF2的斜率為-√3，也就是說∠F1F2A=60°，而|AF1|=|AF2|，所以三角形F1AF2為等邊三角形。由于DE是過點(diǎn)F1且垂直于AF2的直線，所以DE是線段AF2的垂直平分線，故有|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，且三角形ADE全等于三角形DEF2，所以只需要求出三角形DEF2的周長(zhǎng)即可。三角形DEF2的周長(zhǎng)＝|DE|+|EF2|+|DF2|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13。

這道題在求出橢圓方程之前都還算簡(jiǎn)單，但是后面對(duì)三角形ADE周長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化才是難點(diǎn)，大部分考生也就是卡在了這一步，從而導(dǎo)致沒有計(jì)算出答案。