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2023-01-31
在代數(shù)和幾何之間跳舞的數(shù)學家，研究橢圓曲線時結合了代數(shù)和幾何
更新時間：2022-11-23 10:30:57作者：智慧百科
來源：quantamagazine
和許多后來成為數(shù)學家的人一樣，何偉（Wei Ho）在數(shù)學競賽中長大。八年級時，她贏得了威斯康星州數(shù)學競賽的冠軍。Ho被數(shù)學的嚴謹性所吸引。她研究的是我們熟悉的幾何物體，但她將問題重新定義為有理數(shù)（然后數(shù)論就開始起作用了）。
她對橢圓曲線特別感興趣，橢圓曲線是由一種特殊的多項式方程定義的，在數(shù)學的不同分支中都有應用。橢圓曲線出現(xiàn)在分析中以及尋找和定義精確數(shù)學結構的代數(shù)中。盡管它們的關注點不同，但分析和代數(shù)更多的是根據(jù)感性而不是嚴格的界限來劃分的，因為它們之間有很多重疊。
2018年，Ho和她的合作伙伴哈佛大學的Levent Alp?ge發(fā)現(xiàn)了定義橢圓曲線的多項式的整數(shù)解數(shù)量的一個新的上限。他們借鑒了美國數(shù)學家路易斯·莫德爾幾十年前的研究成果。在他們的論文中，Ho和Alp?ge能夠收集到關于這些整數(shù)解的分布的新信息。
Quanta在一系列視頻會議中與Ho進行了交談。這些采訪經過了精簡和編輯。
你如何描述你做數(shù)學的方法？
有時數(shù)學家把自己分為代數(shù)人和分析人。我做的數(shù)學涉及兩方面，但在內心深處，我是一個代數(shù)學家，盡管我的思維方式是幾何的。我常常傾向于把代數(shù)和幾何看作本質上是一樣的。
這不是很準確，但基本上從笛卡爾的工作開始特別是在上個世紀，這兩個學科變得非常接近。有一個相當精確的字典，可以在某些情況下，幫助把一個幾何圖形翻譯成代數(shù)結果。
在我自己的例子中，幾何圖形通常有助于表述陳述和猜想，并提供直覺，但我們在寫作時將它們轉化為代數(shù)。因為代數(shù)通常更嚴格，所以更容易發(fā)現(xiàn)錯誤。當幾何圖形難以可視化時，使用代數(shù)也會更容易。
在你最近的工作中，你關注的是什么想法？
我的很多工作都與橢圓曲線有關，這是數(shù)論和算術幾何中非常自然的對象。應該很難得到這樣的方程的整數(shù)解?；旧?，我們期望幾乎所有曲線都沒有整數(shù)解。但這很難證明。
Levent和我研究了積分點數(shù)的分布。我們使用了莫德爾1969年出版的《丟番圖方程》一書中的經典結構。我們可以給出橢圓曲線上積分點個數(shù)的上限。其他人給出了上界。我們發(fā)現(xiàn)了一個不同的邊界。
莫德爾早期的工作在你最近的成果中起了什么作用？
我們的問題涉及橢圓曲線上的積分點。莫德爾有辦法把它和我們可以研究的其他東西聯(lián)系起來。這是我們在數(shù)學中一直在做的事情：我們想要理解一個對象，但我們必須找到一個代理來理解它。有時候這個代理是非常準確的。有時它會丟失信息。
你什么時候決定專攻數(shù)學的？
我現(xiàn)在對我的生活和事業(yè)很滿意，但我覺得如果事情稍微有所不同，我可能在許多職業(yè)或其他領域都很快樂。也許這是大多數(shù)數(shù)學家不會說的，因為他們喜歡談論他們對數(shù)學的熱情，以及他們如何永遠不會考慮其他任何事情。對我來說，我不這么認為。
我對很多不同的事情都很好奇。也許我最終成為一名數(shù)學家是因為我對其他領域缺乏嚴謹感到沮喪。作為一個孩子，我被訓練在某些方面像數(shù)學家一樣思考，因為這是我們在家做事情的方式。我爸爸和我玩數(shù)學游戲，這意味著我從小就在學習邏輯推理。但我不確定我能成為一個好的數(shù)學家。
為什么？
我的意思是，我沒有看到很多人對數(shù)學以外的事情充滿熱情，這讓我非常懷疑自己。如果我不花100%的時間思考數(shù)學，我怎么可能在數(shù)學上取得成功？在我的印象中，其他人對待數(shù)學的態(tài)度與我不同，包括我的同齡人和比我年長的人。我想要從事一份與自己不一樣的職業(yè)是很困難的。我會有其他的興趣愛好。
你剛剛被任命為國際會計協(xié)會婦女與數(shù)學項目的主任。這個項目為女數(shù)學家提供了什么？
這是一個為期一周的研討會，面向不同職業(yè)階段的女性，包括本科生、研究生、博士后和一些初級和高級教師。那些可能還不知道自己想學數(shù)學的本科生會遇到非常資深的數(shù)學家，并得到了可靠的指導。他們可以看到許多不同的人在不同的職業(yè)生涯階段，并與人們談論他們的經驗。我不認為有很多其他的項目有這樣完整的范圍，專注于一個特定的子領域。
2023年的計劃被稱為“整數(shù)中的模式”。會有很多人學習加性組合學和解析數(shù)論。我們把不同職業(yè)的人招進來，讓他們認識。對于已經在這一領域工作的年長研究生，他們將會見本領域的博士后、初級和高級教師，并獲得與他們一起工作一周的機會。
你還參與了Stacks項目，這是一個廣泛的在線資源。它有什么獨特之處？
獨特之處在于它的巨大容量和可訪問性。這是一個龐大的在線合作項目，如果你把它打印出來，有7500多頁。但實際上，埃斯·約翰·德容（哥倫比亞大學數(shù)學家）寫了幾乎所有的內容。這是一個嚴謹?shù)?，為代?shù)幾何學者精心編寫的資源。他做了一件了不起的事。
每一兩個星期，它就會增長一次。它幾乎是任何東西的可靠參考。它涵蓋了大量的代數(shù)幾何。它是一種可以添加和編輯的生活方式。如果有錯誤，他們會被發(fā)現(xiàn)的。
另一個有趣的地方是它的標簽系統(tǒng)。即使這個文檔在不斷增長，您仍然可以永遠引用特定的標記。對于你可能想引用的特定結果，有超過21,000個永久標簽。
你的團隊在Stacks項目中扮演什么角色？
關鍵是要讓年輕人參與進來。我們讓他們寫一些可能最終會被納入其中的片段。這里有一些問題，因為網站要保持正確和高質量的資源，它需要仔細地審核。所以約翰還需要做很多工才能把東西放進去。它不像維基百科那樣，任何人都可以接觸它。
我們正在想辦法慢慢地讓更多人參與到Stacks項目中來。我們引進了導師，與研究生和博士后一起做項目。他們學習一些代數(shù)幾何。然后他們寫一些東西。如果有足夠多的人參與并堅持下去，Stacks項目可能會在數(shù)百年內具有極大的影響力。